Somme et changement d’indice?

Bonjour,

Je n’arrive pas à comprendre comment nous avons réussi à passer d’une somme allant de 0 à 2n+1 à une somme allant de 0 à n.

Merci

4 Answers

  • Pour passer à la dernière ligne, on ne garde en effet que les « k impairs », pour k allant 0 à 2n+1.

    On oublie pour le moment la dernière ligne.

    Puisqu’on ne garde que les « k impairs », k est de la forme 2j+1, avec j variant de 0 à n.

    Donc, cela donne, en utilisant j:

    Im (somme pour j variant de 0 à n de C(2j+1,2n+1)*(i*sin(t))^(2j+1)*(cos(t))^(2n+1-(2j+1)))

    Tout ce qu’on a fait pour le moment, c’est remplacer k par 2j+1.

    De plus, i^(2j+1) = i*(-1)^j

    On trouve alors exactement la même somme que le résultat que vous avez proposé en dernière ligne.

    Alors pourquoi k et pas j ? Tout simplement, on a une variable muette: dans votre correction, on a utilisé k, on aurait pu utiliser j, s ou toute autre lettre.

    En quelque sorte, le k de la première ligne de votre corrigé est différent du k de la deuxième ligne.

  • C’est vrai : pourquoi tant de « n » ?

  • Dans le premier cas k prend toutes les valeurs de 0 à 2n+1

    Exemple 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11

    Dans le deuxième cas on ne prend que les valeurs impaires : 1,3,5,7,9,11

    Dans la formule on a changé les variables pour ne garder que des valeures impaires, et remplacé k par 2k+1

    Si on gardait 2n+1 comme limite, on aurait 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23

    Il faut donc mettre n en limite pour retrouver les valeurs voulues 1,3,5,7,9,11

  • Et moi donc !

Laisser un commentaire