Quelqu’un peut-il me donner la démonstration du théorème de l’Hospital svp?

Je vous énonce le théorème: si lim f(x) = lim g(x) = 0 quand x tend vers l’infini alors lim f(x) / g(x) = lim f'(x) / g'(x) quand x tend vers l’infini (le signe de l’infini étant le même partout

3 Answers

  • Je vous propose de vous rendre sur :

    http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de…

    à la partie démonstration. C’est très clair et bien écrit.

  • le théorème est plus général que celui que tu énonces. L’hypothèse x tend vers l’infini ne sert à rien. La règle de l’hôpital est valable pour la limite en n’importe quelle « valeur » de R(barre)

    Les hypothèses sont:

    f et g dérivables au voisinage de a avec f(a)=g(a)=0 et g’ ne s’annulle pas au voisinage de a (la continuité de f n’est pas suffisante contrairement à la « démonstration » précédente)

    Le théorème de Rolle généralisé nous donne: il existe c tel que:

    [f(b)-f(a)]g'(c)=[g(b)-g(a)]*f'(c) avec c compris entre a et b

    d’où: si f(a)=g(a)=0

    f(b)/g(b)=f'(c)/g'(c)

    Comme f'(x)/g'(x) a une limite en a, f/g a la même limite en a.

  • Il manque des hypotheses genre f et g continue au voisinage de x0 ici l infini sinon chgt de variable x=1/y y au voisinage de 0

    donc f(y) = (y-y0)f'(y) + f( y0) par continuité f(y0)=g(y0)=0

    ainsi que pour g voila ta démo

    à ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

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