L’integrale de ln(x) / (x² +1)?

l’integrale de ln(x) / (x² +1)² sans calcule svp

nn dsl cé : xln(x) / (x² +1)²

J’ai trouvé : 1/2( ln(X)/ X²+1) – 1/2Ln(X) – 1/4ln(x² +1)

xln(x) / (x² +1)² = 1/2 ( 2Xln(X) / X²+1 )

J’ai ingérré par partie J’ai trouvé :1/2 (-lnx / X²+1) + integrale de 1/X(X²+1) aprés on ( 1/X(X²+1) = 1/X – X/X²+1 ) qui donne : 1/2(ln(X) / X²+1 ) + ln(X) + lintgrale 1/2 * 2X/X²+1

aprés : 1/2 ln(x)/ x²+1 + 1/2 ln(x) +1/4ln(X²+1)

3 Answers

  • Selon le règle bien connu suivant:

    intégrale( u.dv) = u.v- intégrale(v.du)

    On peut écrire que: intégrale[ ln(x).dx / (x² +1) ] = intégrale [ ln(x).d arctan(x) ] = ln(x).arctan(x) – intégrale[ arctan(x).dx/x ]

    maintenant,pour l’intégrale dernière on change le variable de: x —-> t comme ci-après:

    x = tan(t) —–> dx = [1+tan^2(t) ].dt

    Et arctan(x) devient : t

    on doit donc calculer l’intégrale suivant:

    intégrale[ t.dt/tan(t) ] + intégrale[ t.tan(t).dt ],mais la 1ère ne peut pas etre exprime’ par un nombre fini des fonctions « primitives »(si j’ai pas perdu le mot français exact)

    retourner a la theory de Leoville.

  • On peut tenter l’IPP en intégrant x/(x²+1)² et en dérivant ln x. Cela permettra d’éliminer le log et de retomber sur une fraction rationnelle qu’on sait intégrer avec les méthodes courantes.

    I = ∫[1->x] t.ln(t) / (t² +1)² dt

    I = -1/2 ∫[1->x] ln(t).(2t).(-1)/(t²+1)².dt

    I = -1/2 . ln(x)/(1+x²) + 1/2 ∫[1->x] 1/t . 1/(1+t²) dt

    I = -1/2 . ln(x)/(1+x²) + 1/2 J

    J = ∫[1->x] 1/t . 1/(1+t²) dt

    On peut mettre la fraction rationnelle 1/t(1+t²) sous la forme a/t + (bt+c)/(1+t²)

    a/t + (bt+c)/(1+t²) = (a+at²+bt²+ct) / t(1+t²)

    On choisit a=1, b=-1, c=0

    J = ∫[1->x] (1/t – t/(1+t²)) dt

    J = ∫[1->x] 1/t dt – ∫[1->x] t/(1+t²) dt

    J = ln x – 1/2 ln (1+t²) + ln √2

    J = ln (x) – arctan x + ln √2

    Une primitive de f(x) = x.ln(x) / (x²+1)² est donc

    F(x) = (ln x – 1/2 ln (1+x²) – ln(x)/(1+x²))/2

    F(x) = (2.ln x . x²/(1+x²) – ln (1+x²)) / 4

  • Je ne pense pas pouvoir te donner une fonction explicite , pour commencer l’intervalle de définition est cruciale mais une intégration par parties peut être un bon début vu la gueule de ton exercice, en effet

    on peut sans mal dériver le ln et intégrer x/(x^2+1) (x étant « presque » la dérivée de x^2+1 ) en 0,5*ln(x^2+1) .

    Puis tu dois te retrouver avec un terme – une intégrale. Là , les choses se compliquent car il est impossible de calculer cette seconde intégrale , même un logiciel de programmation ne peut pas…

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