limites de 1/x * ln (ch(x)) ?

Comment calculer les limites de 1/x * ln (ch(x)) ? J’aimerais montrer que cette fonction est prolongeable par continuité sur R.

Merci !

Merci bien pour vos réponses !

4 Answers

  • Utilise la définition de ch x:

    ch x= [exp x+ exp(-x)]/2 = (exp x).[1+exp(-2x)]/2

    donc 1/x ln ch x=(1/x).[x + ln[1+exp(-2x)] – ln 2]

    Le terme entre crochets est équivalent à x en +00

    donc 1/x ln ch x est équivalent à x/x = 1

    lim = 1 en + 00

    en – 00 , ln ch x équivaut à -1 ( car ch x =ch -x donc ln ch x équivaut à (-x))

    Désolé , j’avais pas vu que c’était en 0 que tu cherchais la limite…

  • Limite en 0:

    ch(x)=1+x²/2+o(x²) en 0

    ln(ch(x))=ln(1+x²/2+o(x²))

    =x²/2+o(x²)

    ln(ch(x))/x=x/2+o(x)

    Donc lim=0 quand x tend vers 0.

    Limite en +oo et -oo:

    ch(x)=(e^x+e^-x)/2

    =e^x(1+e^-2x)/2

    ln(ch(x))=x+ln(1+e^-2x)-ln(2)

    =x+e^-2x+o(e^-2x)-ln(2)

    ln(ch(x))/x=1+e^-2x/x+o(e^-2x)/x

    -ln(2)/x

    Donc lim=1 quand x tend vers +oo ou -oo.

  • Pour prolonger par continuité, je suppose que tu cherches la limite en 0. Le développement limité est effectivement une bonne piste.

    ch(x) = 1 + x²/2 + o(x²)

    ln(1+u) = u + o(u) –> ln(ch(x)) = x²/2 + o(x²)

    –> f(x) = x/2 + o(x) qui tend vers 0

    Tu peux la prolonger par continuité par f(0)=0

  • Je ne connais pas ton niveau.

    En passant par les séries (ou les développements limités au voisinage de 0):

    chx = 1 + x²/2! + x^4/4! + …

    Log(1+u) = u – u²/2 + u^3/3 – u^4/4 +…

    Log(chx) = x²/2 + …

    1/x . Log(chx) = x/2 + …

    Qui vaut 0 en 0.

    Sans garantie 🙂

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