Fonctions de classe C1, C2 etc..?

Dans mon cours de maths c’est dit qu’une fonction de classe C1 est dérivable une fois sur son intervalle et les fonctions de classe Cinfini le sont une infinité de fois.

Voila, je comprend pas ce que veut dire « de classe C1 » vu que toutes les fonctions que je connais sont dérivables une infinités de fois.

Les polynômes, par exemple x²+3x+5 –> 2x+3 –> 2 –> 0 –> 0 –> 0 ………

help!!

3 Answers

  • Ta définition des classes de fonction n’est pas correcte. Il y a 2 choses à vérifier :

    – Une fonction est C1 sur un intervalle si elle est dérivable et si cette dérivée est continue sur cet intervalle.

    – Une fonction est C2 si elle est dérivable 2 fois et si la dérivée 2nde est continue sur cet intervalle.

    – …

    – Une fonction est Cn si elle est dérivable n fois et si la dérivée n-ième est continue sur cet intervalle.

    Exemple :

    Considère la fonction f(x) = x*√(x²) : elle est dérivable sur |R et cette dérivée est continue :

    f ‘(x) = 2√(x²)

    f(x) est donc au moins C1 sur |R.

    Avec f ‘(x) = 2√(x²), cette fonction n’est pas dérivable sur |R et cette dérivée n’est pas continue sur |R :

    f « (x) = 2x / √(x²)

    f(x) n’est donc pas C2 sur |R.

  • Tu connais la fonction valeur absolue? à un réel x elle associe sa valeur absolue |x| (|x|=x si x positif et |x|=-x si x est négatif). Quand tu traces le graphe, ça a la forme d’un V.

    Cette fonction est continue sur R mais pas dérivable sur R car elle n’est pas dérivable en 0.

    Si tu prends une primitive de cette fonction, tu obtiens une fonction de classe C1 sur R mais pas de classe C2 sur R. Cette primitive peut par exemple être F : x -> x.|x|/2.

    PS: Il faut toujours préciser l’intervalle sur lequel la fonction est de classe C(n).

  • On s’arrête de compter quand la dérivée est nulle , quand même !!!

    Dans la définition de la Classe il n’est pas question de continuité de f’, c’est la définition « normale » :

    C1 : f est dérivable et sa dérivée est continue

    C2 : f est dérivable 2 fois et f » est continue .. etc

    On peut se servir du théorème f dérivable DONC f continue ( pas l’inverse)

    De plus l’intervalle peut être modifié : racine de x définie sur R+, dérivable sur R+/{0}

    seule des fonctions comme exp(x), cos(x) sont dérivables indéfiniment ( et c’est vrai qu’elles sont nombreuses ….

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