Développement limité de exp(cosx) à l’ordre 4 au voisinage de 0?

Bonjour, je rencontre un problème lors du DL de exp(cosx) à l’ordre 4 au voisinage de 0.

Si j’ai bien compris, je dois d’abord calculer le Dl de cos (x) a l’ordre 4 au voisinage de 0 soit :

cos(x) = 1 – x^2/2 + x^4/24 + o(x^4)

puis calculer le DL de exp(x) au voisinage de 1 puisque cos(0)=1 soit :

exp(x)= 1 + (x-1) + (x-1)^2/2 + (x-1)^3/6 + (x-1)^4/24 + o(x^4)

Et ensuite insérer le DL de cos x dans l’exp(x) non ? C’est là que je pense faire une erreur / mal comprendre la démarche.. car j’arrive au résultat suivant :

exp(cosx)= 1 – x^2/2 + x^4/6

alors que la réponse est (je dispose du corrigé mais pas de la méthode ..) :

exp(cosx)= exp + exp(x^2/2) + exp(x^4/6)

J’ai besoin d’aide relativement rapidement, merci d’avance !

2 Answers

  • « exp(x)= 1 + (x-1) + (x-1)^2/2 + (x-1)^3/6 + (x-1)^4/24 + o(x^4) »

    Et donc quand x tends vers 1, exp(x) tend vers 1 ?… C’est le genre de petits contrôles qui ne mangent pas de pain et qui permettent de s’éviter des galères sur des calculs faux dès le début.

    exp( cos(x) ) = e * exp( cos(x) ) / e = e * exp( cos(x) – 1)

    Et cos(x) – 1 = 0 pour x = 0. Tu peux alors procéder avec deux DL en 0 dont tu connais les formules par coeur :

    – Celui de cos(x) = 1 – x^2/2 + x^4/24 + o(x^4) qui donne cos(x) – 1 = – x^2/2 + x^4/24 + o(x^4)

    – Celui de exp(x) = 1 + x + x^2/2 + o(x^2)

    Pour l’exponentielle tu peux t’arrêter à l’ordre 2 parce que les degrés supérieurs donnent des puissance trop grande de x ( (- x^2/2 + x^4/24)^3 donne au minimum du x^6, etc. ).

    D’ailleurs, dans la puissance deux du DL de l’exponentielle, seule la puissance 2 du DL du cos(x)-1 donnera un degré inférieur ou égal à 4 ; ça t’évite des développements inutiles :

    exp(cos(x)) = e * ( 1 + (- x^2/2 + x^4/24) + (- x^2/2 )^2/2 ) + o(x^4)

    exp(cos(x)) = e * ( 1 – x^2/2 + x^4/6 ) + o(x^4)

  • Le développement en série de Taylor Mac-Laurin d’une fonction au voisinage de a est du genre f(a)+f'(a)(x-a)+f »(a)(x-a)^2/2! + f »'(a)(x-a)^3/3! + f » »(a)(x-a)^4/4! + o((x-a)^4)

    Pour l’exponentielle, a=1 et f(1)=f'(1)=f »(1)=f »'(1)=f » »(1)=e .

    Le développement de cos(x) au voisinage de 0 est cos(x)= 1 – x^2/2 + x^4/24 + o(x^4)

    Si on remplace, on a exp(cos x)=e + e(-x^2/2+x^4/24)+e(x^4/4)/2 = e (1 – x^2/2 + x^4/6)

    Donc vous aviez raison, à un facteur e près.

    J’ai vérifié, ça a l’air de coller pour x=0.05

Hottest videos

Laisser un commentaire