Comment démontrer que sin(60)=V3/2 ? SVP ?

Et aussi :

Cos(60)=1/2

Tan(60)=V3

V = racine carré

3 Answers

  • En prenant un triangle équilatéral de longueur latérale 1.

    On aura trois angles de 60 degrés.

    En traçant une hauteur issue d’un sommet :on aura deux triangles rectangles dont les angles de chacun sont 30 ; 60 et 90 degrés.

    On a la relation suivante :

    sin alpha = côté opposé / hypoténuse

    Tu traceras la figure pour avoir les idées en clair !

    Donc :

    sin60° = côté opposé / hypoténuse ———— ici on a hypoténuse = 1 ; donc :

    sin60° = côté opposé ————- (1)

    par le théorème de Pythagore , on a :

    (côté opposé)² + (côté adjacent)² = (hypoténuse)² ———-hypoténuse = 1

    (côté opposé)² + (côté adjacent)² = 1 — Or côté adjacent= (1/2)hypoténuse= (1/2)*1= 1/2

    (côté opposé)² + (1/2)² = 1

    (côté opposé)² = 1 – (1/2)²

    (côté opposé)² = 1 – (1/4)

    (côté opposé)² = ((1 * 4) – 1) / 4

    (côté opposé)² = (4 – 1) / 4

    (côté opposé)² = 3/4

    côté opposé = V(3/4)

    côté opposé = (V3) / 2

    (sin60°)² + (cos60°)² = 1

    (cos60°)² = 1 – (sin60°)²

    cos60° = V[1 – (sin60°)²]

    cos60° = V[1 – ((V3)/2)²]

    cos60° = V[1 – (3/4)]

    cos60° = V[(1 * 4) – 3)/4]

    cos60° = V[(4 – 3)/4]

    cos60° = V(1/4)

    cos60° = V1 / V4

    cos60° = 1/2

    Sinon et sans l’utilisation de la valeur de sin60° = (V3) / 2

    on fera comme suit :

    en tenant compte de : cos60° = côté adjacent / hypoténuse

    côté adjacent = hypoténuse / 2 = 1/2

    on aura donc :

    cos60° = (1/2) / 1

    cos60° = 1/2

    Tan60° = sin60° / cos60°

    = ((V3)/2) / (1/2)

    = (V3) / 1

    = V3

    Sinon :

    tan60° = côté opposé / côté adjacent

    = ((V3)/2) / (1/2)

    = (V3) / 1

    = V3

  • Prendre le triangle (ABC) équilatéral de côté 1.

    Soit H le projeté orthogonal de A sur [BC].

    H est le milieu de [BC].

    (AHB) est rectangle en H

    Donc par le théorème de Pythagore:

    AB²=AH²+HB²

    Donc 1=AH²+(1/2)²

    Donc AH²=1-1/4=3/4

    Donc AH=V3/2.

    cos(HBA)=cos(60)=BH/BA=1/2

    sin(HBA)=sin(60)=AH/AB=V3/2

    tan(HBA)=tan(60)=AH/BH

    =(V3/2)/(1/2)=V3.

  • Pour montrer ceci tu pars d’une triangle équilatéral (donc les angles font 60°). Tu traces une de ses (qui est aussi une médiatrice…).

    Tu obtiens 2 triangles rectangles dans le triangle équilatéral où tu peux utiliser le théorème de Pythagore et calculer les sinus et cosinus.

    Prend une feuille et un crayon, construit un triangle équilatéral ABC.

    Trace la hauteur qui passe par A, perpendiculaire à (CB), et appelle D le point sur (CB).

    Le triangle ABD est rectangle en D.

    cos(60) = DB / AB

    sin(60) = AD / AB

    tan(60) = sin(60) / cos(60) = AD / DB

    Il faut trouver DB et AD en fonction de AB :

    Comme la hauteur (AD) est aussi un médiatrice de [CB], D est au milieu de [CB] donc DB = (1/2)*CB = (1/2)*AB.

    Dans ABD triangle rectangle en D, le théorème de Pythagore donne AD² + DB² = AB²

    AD² = AB² – DB² = AB² – ( (1/2)*AB )² = (1 – 1/4) * AB² = (3/4) * AB²

    AD = (V3/2) * AB.

    cos(60) = DB / AB = (1/2)*AB / AB = 1/2

    sin(60) = AD / AB = (V3/2) * AB / AB = V3/2

    tan(60) = (V3/2) / (1/2) = V3

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