comment demontrer que exp(A+B)=exp(A)exp(B) si A et B sont 2 matrices qui commutent?

Bonjour,

merci de m’expliquer en detail comment faire.

yanson12

3 Answers

  • Rappels

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    1) exp(A) = som(A^k/k!, k=0..inf)… série absolument convergente.

    2) Si som(An) et som(Bn) sont deux séries absolument convergentes, alors la série de terme générale

    Cn = som( Ak B(n-k), k=0..n) est absolument convergente de somme:

    C = A B

    Application à ta question

    ===================

    Cn = som( Ak B(n-k)) = som (A^k/k! * B^(n-k)/(n-k)!)

    Puisque A et B commutent on peut appliquer la formule de binome:

    Cn =((A+B)^n/n!)

    Ainsi C = exp(A+B)

  • C’est éxactement comme pour le cas ou a et b sont deux réels et que tu montre que exp(A+B)=expA expB à partir des séries entières. C’est à dire que tu écris les sommes partielles et tu utilises la formule du binôme de NEWTON. Ensuite grâce à la formule de PASCAL, tu peux regrouper les termes de même ordre (somme des puissances identiques). Finalement tu montres que les deux sont égales.

  • Ouh! la! la! Très compliquer!

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